Родился 19 января 1914 года в Москве в семье рабочего. Окончил 7 классов и школу ФЗУ. Был учеником, а затем слесарем на заводе «Авиахим-1» В 1932 году окончил планерную школу, был инструктором-планеристом заводского аэроклуба.

В Красной Армии с 1936 года. Поступил в танковое училище. После гибели отца — бортмеханика в экипаже С. А. Леваневского — перевёлся в 1-ю Качинскую Краснознамённую военную авиационную школу лётчиков имени А. Ф. Мясникова, которую окончил в 1939 году. Направлен служить в Московский военный округ.

В составе 148-го истребительного авиационного полка участвовал ы советско-финляндской войне 1939-1940 годов.

На фронтах Великой Отечественной войны  с первого дня. Политрук Годовиков А. Н. прикрывал с воздуха железную дорогу Вологда-Череповец, летал на штурмовку войск противника. В ноябре 1941 года в воздушном бою в районе Апраксина городка сбил Me-109. 29 декабря 1941 года в густой облачности на подходе к Вологде сбил бомбардировщик Ju-88, а другой заставил сбросить бомбы и повернуть обратно. Сбитый им «юнкерс» был выставлен на площади в центре Вологды на всеобщее обозрение.

7 февраля 1942 года в 9.50 политрук Годовиков вылетел во главе пятёрки МиГ-3 по сигналу тревоги. В воздухе на высоте 7000 метров он первым обнаружил воздушный разведчик Ju-88 и пошёл на сближение. Он догнал противника у станции Заборье. Заметив преследование, вражеский пилот сделал левый разворот и попытался уйти в облака. Разгадав замысел врага, Годовиков ринулся наперерез. Стрелки «юнкерса» открыли по нему огонь. Годовиков уклонился от вражеских трасс и сам открыл огонь. Первой очередью он поразил стрелка, потом поджог двигатель «юнкерса», но тот продолжал лететь в сторону фронта. Когда кончился боезапас, Годовиков передал на КП по радио, что идёт на таран. Подойдя вплотную, он нанёс удар по хвостовому оперению «юнкерса». Вражеский самолёт рухнул вниз. От удара Годовиков видимо потерял сознание и не смог покинуть неуправляемый истребитель. Это был его пятый по счёту сбитый самолёт противника.

Самолёт Годовикова был обнаружен 8 февраля 1942 года в полкилометре от сбитого им «юнкерса». Похоронен в городе Череповце Вологодской области на площади Жерт Революции.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 марта 1942 года за мужество и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, политруку Годовикову Алексею Николаевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Материал Википедии.